Родился в г. Душанбе. Окончил Ленинградский государственный институт театра, музыки и кинематографии им. Н.К. Черкасова (ныне — Российский государственный институт сценических искусств) в 1991 году по специальности «артист драматического театра и кино» (курс н.а. СССР И.О. Горбачёва).

В том же году был принят в труппу Александринского театра (в те годы — Российский государственный академический театр драмы им. А. С. Пушкина (Александринский)). Служил в Александринском театре в период с 1991 по 1999, с 2003 по 2005 годы. В 1999 – 2003 гг. — артист Театра «На Литейном».

Как приглашённый артист участвовал в спектаклях петербургских театров — Академического театра комедии имени Н.П. Акимова, Театра «Русская антреприза» имени Андрея Миронова, Театра «Приют комедианта» (ныне — «Театр на Садовой»), Театра Поколений, Белого театра, Академического драматического театра имени В.Ф. Комиссаржевской, московского Театра «Практика» и других.

В 2001 году вместе с группой единомышленников — Александром Лушиным, Ириной Полянской, Натальей Пивоваровой и Верой Харламовой — организовал в Санкт-Петербурге независимый «Такой театр», художественным руководителем которого является по сей день.

С 2014 по 2016 годы — главный режиссёр Театра имени В.Ф. Комиссаржевской.

Как режиссёр поставил более 50 спектаклей в театрах Санкт-Петербурга, Воронежа, Екатеринбурга, Липецка, Новосибирска, Норильска, Омска, Ростова-на-Дону, Тюмени, а также в Израиле, Венгрии, Македонии.

В 2025 году по приглашению Валерия Фокина ввёлся на главную роль в спектакль «Мейерхольд. Чужой театр» (режиссёр  В. Фокин, 2024). Павел Руднев писал об исполнении этой роли: «Судя по всему, ввод поменял спектакль. Насколько я вижу по фото, Баргман в отличие от первого исполнителя настаивает на портретном сходстве, на тождестве. Тут возникало магическое ощущение присутствия, материализации тени. Баргман играет грандиозно! Суровый профиль с благородной сединой. Взгляд филина. Усталость небритых, поплывших щек. Слоистая вековая бахрома под глазами. Это Мейерхольд перед гибелью, старик, несущий на себя печать обреченности. (...) Пластика Александра Баргмана базируется на динамических линиях портрета Бориса Григорьева. Выразительность рук, непостижимая изломанная линия корпуса, зооморфные движения как в восточном театре, каждая часть тела живет сама по себе. Мейерхольд - человек, управляющий сценой, для него лепка мизансцены - это то, что высекается из пальцев, как огонь шамана. Сцена лечит, и вот уже появляется вместо взгляда филина - довольство мизансценой. Шнобель вверх, седая грива назад, болевой рефлекс снят чувством выполненной работы. (...) В финале на сцене стоит босой, раздетый на расстрел Мейерхольд. Это художник без театра, которому партийная организация не дозволила выходить на поклон после своего прощального спектакля. Тут идет разговор даже не о печальной участи убиенного мастера, а метафизический диспут вообще о сути режиссуры: режиссер без спектаклей - гол, ему нечем прикрыться». (Павел Руднев. Александр Баргман в спектакле "Мейерхольд. Чужой театр" // livejournal 30.09.2025) Интервью Александра Баргмана об исполнении этой роли в газете Metro. 

Избранные режиссёрские работы:

«Иванов», «Такой театр», 2007 год, совместно с А. Вартаньян
«Каин», «Такой театр», 2009 год, совместно с А. Вартаньян
«Смешные поневоле», «Приют комедианта», 2010 год
«Мольер», Тюменский Большой драматический театр, 2011 год
«Лжец», Омский академический театр драмы, 2012 год
«Три товарища», Тюменский Большой драматический театр, 2012 год
«Ночь Гельвера», Театр имени В.Ф. Комиссаржевской, 2013 год
«Отцы и сыновья», Театр «Красный факел», г. Новосибирск, 2013 год
«Графоман», Театр имени В.Ф. Комиссаржевской, 2014 год
«На чемоданах», Омский академический театр драмы, 2015 год
«Бар “Ремарк”», Македонский национальный театр, г. Битола, Македония, 2016 год
«Война и мир», Театр комедии, г. Будапешт, Венгрия, 2020 год
«Настанет день…», Театр имени В.Ф. Комиссаржевской, 2024 год
«Бег», Тюменский Большой драматический театр, 2025 год

Лауреат Государственной премии Российской Федерации (1999), неоднократный лауреат Высшей театральной премии Санкт-Петербурга «Золотой софит» и других российских театральных премий и фестивалей.